(满分：100分考试时间：150分钟)
专业基础知识部分
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.下列计算中正确的是()。
A.x·x3=x2B.x3-x2=x
C.x3÷x=x2D.x3+x3=x6
2.已知如图，下列条件中，不能判断直线l1∥l2的是()。
A.∠1=∠3B.∠2=∠3
C.∠4=∠5D.∠2+∠4=180°
3.如图，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α=30°，飞行高度AC=1 200米，则飞机到目标B的距离AB为()。
A.1 200米B.2 400米
4.下列图形中阴影部分的面积相等的是()。
A.①②B.②③
C.③④D.①④
5.如图，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心的点是()。
6.若三角形的三边长分别为3、4、x-1，则x的取值范围是()。
A.0 C.0 7.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD=2CD，且CD=13CA+λCB，则λ=()。
A.13B.-13
C.23D.-23
8.已知f(x)=ax2+bx+c(a>0),α、β为方程f(x)=x的两根，且0<α<β。当0 A.x C.x>f(x)D.x≥f(x)
9.在等比数列{an}中，a1=2，前n项和为Sn。若数列{an+1}也是等比数列，则Sn等于()。
A.2nB.3n
C.2n+1-2D.3n-1
10.将四名曾参加过奥运会的运动员分配到三个城市进行奥运知识的宣传，每个城市至少分配一名运动员，则不同的分配方法共有()。
A.36种B.48种
C.72种D.24种
得分评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题2分，共8分)
11.复数(1+i)21-i的虚部为。
12.函数f(x)=cos4x-sin4x的最小正周期是。
13.若(x-1x)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为。
14.某公司一个月生产产品1 890件，其中特级品540件，一级品1 350件，为了检验产品的包装质量，用分层抽样的方法，从产品中抽取一个容量为70的样本进行测试，其中抽取的特级品的件数是。
三、解答题(本大题共5小题，共42分)
15.(1)(本小题满分3分)计算：9-|-2|+33-10-2-1+2sin30°。
(2)(本小题满分3分)先化简，再求值：3xx-1-xx+1·x2-1x,其中x=3tan30°-2。
16.(本小题满分10分)某超市对顾客实行优惠购物，规定如下：
(1)若一次购物不多于200元，则不予优惠;
(2)若一次购物满200元，但不超过500元，按标准给予9折优惠;
(3)若一次购物超过500元，其中500元以下部分(包括500元)给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠。
小李两次去该超市购物，分别付款198元和554元，现在小张决定一次性地购买和小李分两次购买的同样多的物品，他需付多少元?
17.(本小题满分6分)传统型体育彩票规定：彩票上的7位数字与开奖开出的7位数字顺序号码完全一致，则中大奖五百万元。
(1)问购买1组号码中五百万的概率是多大?
(2)为了确保中大奖五百万元，每组号码2元，则至少要花多少钱购买彩票?
(3)有人说：就一组号码而言，要么中大奖，要么不中大奖，所以中大奖的概率是50%，你同意这种说法吗?为什么?
18.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(x2-x-1a)eax(e为自然对数的底数，a为常数)。当a<0时，求函数f(x)的单调区间。
19.(本小题满分10分)已知等比数列{an}的公比为q，且|q|>1，又知a2、a3的等比中项为42,a1、a2的等差中项为9。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=an·log12an，数列{bn}的前n项和为Tn，求limn→∞Tn+n·2n+1an+2的值。
【参考答案】
一、选择题
1.C 【解析】略。
2.B 【解析】根据平行线的判定方法可知，∠2=∠3不能判定l1∥l2，故选B。
3.B 【解析】本题考查解答直角三角形应用题的能力，根据题意得AB=2AC=2 400米。选B。
4.D 【解析】分别计算图中①②③④阴影部分面积比较即可。
5.B 【解析】两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。因此本题正确选项为B。(如下图)
6.B 【解析】由题意得4-3
7.C 【解析】如图，据题意得：
CD=12(CE+CB)=12[12(CD+CA)+CB]
=14CD+14CA+12CB，整理得：
34CD=14CA+12CBCD=13CA+23CB=13CA+λCB，
故λ=23。
8.A 【解析】据题意令g(x)=f(x)-x=a(x-α)(x-β),由已知a>0,且0<α<β，故当00f(x)>x,故选A。
9.A 【解析】设等比数列{an}公比为q,由a1=2且{an+1}也为等比数列得：(a2+1)2=(a1+1)(a3+1)(2q+1)2=3×(2q2+1),解之得q=1,经验证当q=1时数列{an+1}为等比数列，故等比数列{an}的前n项和Sn=na1=2n。
10.A 【解析】解答此类问题可先分组后分配，据题意将4名运动员分成2，1，1三组，然后再将3组分到3个城市中去即可，故共有C24A33=36种不同的分配方法。
二、填空题
11.1
【解析】据题意得：z=(1+i)21-i=2i1-i=2i(1+i)2=-1+i，因此其虚部为1。
12.π
【解析】由已知得：f(x)=cos4x-sin4x=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)=cos2x，故其最小正周期为2π2=π。
13.15
【解析】由二项式系数之和为64得：2n=64n=6，此时通项为：Tr+1=Cr6(-1)rx6-32r,令6-32r=0得r=4，故常数项为：T4+1=C46(-1)4=15。
14.20
【解析】分层抽样中每一层中每个个体被抽到的概率均相等，故有：n70=5401 890n=20。
三、解答题
15. 解：(1)原式=3-2+1-12+1=212
(2)原式=3xx-1·(x+1)(x-1)x-xx+1·(x+1)(x-1)x
=3(x+1)-(x-1)
=3x+3-x+1
=2x+4
x=3tan30°-2=3×33-2=3-2时，原式=2x+4=2(3-2)+4=23
16.解：小李第一次购物付款198元，有两种情况：①没有享受打折，直接付款198元;②享受打折后，付款198元。因此，解答此题应分两种情况分别讨论。
①当198元为购物不打折付的钱时，现购物品原价为198元。
设小李第二次购物的原价为x元。则根据题意，列方程：
500×90%+(x-500)×80%=554
解得：x=630
于是小李两次购物的原价共为：
198+630=828(元)。
小张一次性购买这些物品应付：
500×90%+(828-500)×80%=712.4(元)
②当198元为购物打折后付的钱，设购该物品的原价为x元，则根据题意列方程得：
x·90%=198
解得：x=220
又第二次购物的原价为630元，于是小李两次购物的原价共为：
630+220=850(元)
小张一次性购买这些物品应付：
500×90%+(850-500)×80%=730(元)
答：小张需付712.4元或730元。
17.解：(1)购买一组号码中五百万大奖的概率是P(中五百万)=110 000 000，是一千万分之一。
(2)为了确保中大奖五百万，必须买全一千万组号码，至少得花两千万元钱购买彩票。
(3)这种说法不正确，虽然就一组号码而言要么中大奖五百万要么不中，但是中大奖概率极小，不中大奖的概率极大，不是各50%。
18.解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-1a)·eax·a
=eax(ax+2)(x-1)
令f′(x)=0,即(ax+2)(x-1)=0，解得x=-2a，或x=1
当a<-2,即-2a<1时，f′(x)>0-2a f′(x)<0x<-2a，或x>1
∴f(x)的单调减区间为(-∞,-2a)∪(1,+∞)，
单调增区间为(-2a,1)。
当a=-2，即-2a=1时，
f′(x)=e-2x(-2)(x-1)2≤0在R上恒成立。
∴f(x)单调减区间为(-∞,+∞)。
当-21时，f′(x)<0x<1或x>-2a，
f′(x)>01 ∴f(x)的单调减区间为(-∞,1)∪(-2a,+∞)，
单调增区间为(1，-2a)。
综上，当a<-2时，f(x)单调递增区间为(-2a,1),
单调递减区间为(-∞,-2a)∪(1,+∞)
当a=-2,f(x)单调递减区间为(-∞,+∞);
当-2 单调递减区间为(-∞,1)∪(-2a,+∞)。
19. 解：(1)由已知，得a2·a3=(42)2=32a1+a4=2×9=18
∵{an}是等比数列且公比为q,
∴a21·q3=32a1+a1q3=18,解得a1=2q=2或a1=16q=12
又|q|>1∴a1=2q=2 从而an=2·2n-1=2n
(2)∵bn=an·log12an=-n·2n(n∈N*)
Tn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n)①
2Tn=-(1·22+2·23+…+n·2n+1)②
②-①得Tn=(2+22+…+2n)-n·2n+1
∴Tn=(1-n)·2n+1-2
limn→∞Tn+n·2n+1an+2=limn→∞2n+1-22n+2=12